Lema 7

Enunciado

Sea $X$ un conjunto y $\mathcal{A}$ una colección de subconjuntos de $X$ que tiene la propiedad de la intersección finita. Entonces existe una colección $\mathcal{D}$ de subconjuntos de $X$ que contiene a $\mathcal{A}$ y tiene la propiedad de la intersección finita que además es maximal, esto es, no hay ninguna otra colección con esa propiedad que contenga a $\mathcal{D}$.

Demostración

Se construirá $\mathcal{D}$ usando el Lema de Zorn. La notación será la siguiente:

• $c$ es un elemento de $X$.
• $C$ es un subconjunto de $X$.
• $\mathcal{C}$ es una colección de subconjuntos de $X$.
• $\mathbb{C}$ es superconjunto cuyos elementos son colecciones de subconjuntos de $X$.

Sea $\mathbb{B}$ una cadena de colecciones de conjuntos de $X$, es decir, dados ${\mathcal{B}}_{\mathcal{1}},{\mathcal{B}}_{\mathcal{2}}\in \mathbb{B}$, se tiene que ${\mathcal{B}}_1\subset {\mathcal{B}}_2$ o bien ${\mathcal{B}}_2\subset {\mathcal{B}}_1$ con la propiedad de la intersección finita. Buscamos ver que tiene una cota superior. Para ello, definimos

que al contener a la unión de todas las colecciones de $\mathbb{B}$ es la cota superior requerida; no obstante, es necesario que cumpla la propiedad de la intersección finita para lo que se busca demostrar.

Sean $C_1,\dots ,C_n\in \mathcal{C}$. Por la definición de $\mathcal{C}$, para cada uno de ellos va a existir un ${\mathcal{B}}_i\in \mathbb{B}\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$ tal que $C_i\in {\mathcal{B}}_i$. Al ser $\mathbb{B}$ una cadena, totalmente ordenado por la relación de inclusión, y cumplirse que $\{{\mathcal{B}}_1,\dots ,{\mathcal{B}}_n\}\subset \mathbb{B}$, entonces $\mathrm{\exists }k\in \{1,\dots ,n\}$ tal que ${\mathcal{B}}_i\subset {\mathcal{B}}_k\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$; pues es un conjunto finito. Entonces, todos los conjuntos $C_1,\dots ,C_n$ pertenecen a ${\mathcal{B}}_k$^[1]. Además, ya que ${\mathcal{B}}_k$ tiene la propiedad de la intersección finita por hipótesis, la intersección